鈴木 隆平
今年2011年は、相対性理論にとって記念すべき年に当たります。アルバート・アインシュタインの論文「光の伝播に対する重力の影響」が発表されてから100周年になるからです。この論文以後アインシュタインは数年をかけて一連の論文を発表し、それらの論文によって20世紀物理学の金字塔のひとつである一般相対性理論が確立されたのでした。
とはいえ、相対性理論という名前を聞いたことがある人はかなりいると思われますが、それが何についてのどのような理論なのかを知っている人はあまり多くないのではないでしょうか？例えば、一般相対性理論の「一般」とは何なのでしょう？一般ではない相対性理論があるということでしょうか？そもそも、「相対性」とは何が何に対して相対的と言っているのでしょうか？
相対性理論は自然界の4つの基本的な力のうち、重力を説明する理論です。また、きわめて美しい構造を持っており、物理学の理論とはこうあるべきだ、というお手本のような存在です。相対性理論を本当に理解しようとしたら、やはり専門書を読んで難しい方程式と向き合う必要があるのですが、「相対性理論ってこんな理論だよ」と言葉で説明することも不可能ではないと思います。そこで、今回は相対性理論のエッセンスを、なるべく簡潔にご紹介したいと思います。
物理学の大前提と歴史
そもそも物理学が成立するためには、基本となる大前提が存在します。その大前提とは、「自然界の法則は、方程式を用いて数学的に表現できる」
というものです。自然界の秩序を表現するのに、数学の論理性が有用だということは大昔から知られており、数学の歴史と物理学の歴史を切り離して考えることはできません。もっとも、よくよく考えてみると、人間が生み出した概念に過ぎない数学が、人間の知的活動とは無関係に存在する自然界を記述できるというのは非常に不思議な話なのですが、それはともかく、数学と物理学は相互に刺激しあって発展していき、物理法則を表現するための数学的手段が次々に開発されていきました。古代ギリシャから中世にかけては幾何学、近世以降は微積分学が大いに発展し、自然の法則は関係する物理量をパラメーターとする微分方程式で表現されるという認識が確立しました。物体の運動を記述するとは、この微分方程式を解くことと等価なのです。
こうして19世紀の後半までに、物理学の2つの分野における基礎方程式が確立されました。重力下の物体の運動を記述する力学では、アイザック・ニュートンが定式化した、質量と加速度の積が力に等しいという有名な"ニュートン方程式"、電気と磁気の振る舞いを記述する電磁気学ではジェームズ・クラーク・マックスウェルによる"マックスウェル方程式"が、それぞれの分野の基礎方程式となりました。これらの方程式とその応用から、当時知られていた物理現象はすべて説明できるように見えたので、一時は物理学はこれで完成した、あるいは完成間近だという人もいたようです。これが相対性理論前夜の状況でした。
力学と電磁気学の矛盾
とはいえ、これで安心できなかった人もいました。力学と電磁気学は、対象とする物理現象が異なっており、同じ宇宙の違った側面を記述しているわけですが、この2つの理論の間に矛盾がないと言えるのでしょうか？同じ宇宙の物理法則を説明する理論なのに、理論の間に矛盾があったとしたら、少なくともどちらかの理論は修正を必要とするのではないでしょうか。
実際、19世紀の終わりまでには、ニュートン方程式とマックスウェル方程式の間に矛盾があることが知られていました。その矛盾とは、ある観測者が自分を中心とした座標系で観測した物理現象を、他の観測者が観測するとどうなるか、という問題に関連しています。
同じ物理現象を観測していても、観測者によって現象の解釈が異なる、というのは珍しいことではありません。例えば、静止している人Aの前を車が通り過ぎたとしましょう。Aから見ると、自分は止まっているのに対し車は動いている、ということになりますが、車に乗っている人Bから見ると、Bと車は静止していて、Aを含めた回りの景色が動いているのだ、と主張することも可能です。自分を中心とした現象の説明としては、AもBも首尾一貫しており、相対的に正しいと言えます。
この相対性を物理理論で表現したらどうなるでしょうか。AとBの立場の違いは数学的には座標系の違いとして表現されるでしょう。この座標系の間でパラメーターの変換則を設定することにより、座標系AとBの立場を相互に「翻訳」することが可能になります。この変換則を理論の方程式のパラメーターに適用すれば、方程式自体の「翻訳」を行ったことになります。翻訳の結果、Aの座標系での方程式と、Bの座標系での方程式の形に変化がなければ、AとBに対して同じ方程式、同じ理論を適用できることになります。
一口に座標系の違いといっても、実際には無数のパターンがあるわけですが、一番簡単なのはAから見てBが等速直線運動、つまり加速度の無い運動をしている場合です。もちろん、Bから見た場合はAが等速直線運動をしているということになります。AまたはBの運動は、各自を原点とした座標系の運動として表現することができます。以後、この等速直線運動をする座標系の事を"慣性系"と呼びます（ニュートンの慣性の法則が成り立つ座標系という意味です）。
力学と電磁気学の矛盾とは、この慣性系における座標変換に関わる問題でした。この矛盾を解決する過程で、相対性理論が誕生したのです。では、その矛盾について解説していくことにしましょう。
ガリレイ変換とそれに対する不変性
ある時刻でAとBがX軸上の同じ位置xにおり、Aは静止したままですが、Bは一定の速度vでX軸の方向へ移動していくとします。時間tが経過した後のBの位置は、Aから見るとどのように表わされるでしょうか？単純に考えると、距離が時間と速度の積で表わされるという関係から、Bは位置xからvtだけ進んでいるでしょう。したがって、Bの座標に' を付けて表わすことにすると、AとBの座標の間の関係は、
と表現されます。即ちこれが、AとBの間の最も単純な変換則であり、"ガリレイ変換"と呼ばれます。今の例ではAは静止しているとしましたが、必ずしも静止している必要はなく、AもX軸上を等速直線運動しているとしても構いません。その場合、上記の式のvをAとBの相対速度に置き換えれば、ガリレイ変換はそのまま適用できます。つまり、ガリレイ変換は任意の慣性系の間の変換則と考えられます。ここでは説明しませんが、この変換則をニュートン方程式に適用したとき、変換後の方程式の形が不変であることを確かめることができます。
注意したい点が2つあります。1つ目は、今の論理において時間tは2つの慣性系で共通と仮定していることです。Aの手元にある時計と、Bの手元にある時計は同じ時を刻んでおり、お互いに自分の時計を見ることで相手の時間を知ることができるという仮定です。式で表わすと、
ということになります。ニュートン力学ではこの共通の時間の流れは全宇宙で一様であるとしており、"絶対時間"と呼んでいます。2つ目に注意したいのは、今までの議論は私達の日常の感覚をニュートン力学に当てはめた結果であるということです。ニュートン力学の理論の前提としてガリレイ変換不変性が要求されているわけではなく、私たちが感覚的に成り立っていると期待する関係をニュートン方程式に適用したら、結果として不変であったにすぎないというわけです。
こうしてニュートン方程式にガリレイ変換不変性があることを確認できたので、マックスウェル方程式にも同様の結果が成り立つと期待したくなります。しかし、困ったことに、マックスウェル方程式にガリレイ変換を適用した結果は、方程式の形が全く変わってしまうのです。これこそが2つの方程式の間の、ひいては力学と電磁気学の矛盾でした。
力学と電磁気学が両方間違っているという可能性もありますが、仮にどちらか一方は正しいとすると、この矛盾を解決するには次の2通りの解決策が考えられます。
1．ニュートン力学が正しく、マックスウェル電磁気学はガリレイ変換に対して不変になるように修正されるべき。
2．マックスウェル電磁気学が正しい。ガリレイ変換とは別の、マックスウェル方程式を不変にするような変換が存在し、ニュートン力学はその変換に対して不変になるように修正されるべき。
2番目の可能性にある、マックスウェル方程式を不変にする変換は実際に提唱され、今日では提唱者の名前を取って"ローレンツ変換"と呼ばれています。しかし、そのような変換を正当化する根拠はありませんでした。もっとも、ガリレイ変換自体を正当化する根拠も特に無かったのですが、ガリレイ変換は私達の感覚に合致しているので、ガリレイ変換に修正を強いるにはそれなりの根拠が求められたのです。まさにその根拠を提示し、論理的に明快な方法で矛盾を解消したのがアインシュタインの特殊相対性理論でした。
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特殊相対性理論の原理
アインシュタインは、1905年の論文「動いている物体の電気力学」において特殊相対性理論を発表しました。論文のタイトルには相対性などという言葉は出てこないのですが、電気力学つまり電磁気学の在り方こそが論点の核心であったことは前述の通りです。
アインシュタインは、この論文において次の2点を原理、つまり理論の前提として提唱しています。
●すべての慣性系で、物理法則は同じ形を取る。
● 真空中の光の速度cは光源の運動に無関係で、一定である。
最初の原理は今日では"特殊相対性原理"と呼ばれます。それまでの物理学では、既に確立した理論に対しある座標変換を施して物理法則が同じ形になるかどうかを議論していましたが、アインシュタインは議論をいわばひっくり返して、物理法則が同じになることを原理として要求したのです。この原理によると、全ての慣性系は互いに同等であり、異なった運動をする慣性系の間で物理現象の解釈が様々であったとしても、それらは「相対的に」正しいということになります。また、座標系の運動状態は無数に考えられますが、今は慣性系、つまり等速直線運動をしている座標系という「特殊な」場合に限定しています。これが、「特殊相対性」という名称の意味するところです。
2番目の原理は"光速度不変の原理"と言います。なぜいきなり光の速度が出てくるのかと思われるかもしれないので説明しますと、マックスウェル電磁気学では光は電場と磁場が交互に変化する波、つまり電磁波として表わされます。そして、波の一般的な性質として、波の速度は波源の運動には無関係です。つまり、光速度不変の原理は、力学と電磁気学の矛盾を解決する上記の2つの方法のうち、光を電磁波とするマックスウェル電磁気学の立場を正しいとする後者の立場を採用していると解することができます。
これらの原理から理論を展開して、アインシュタインは様々な興味深い結果を導出しています。では、その結果の一部を見ていきましょう。
長さの収縮と時間の遅れ
アインシュタインは、特殊相対性原理と光速度不変の原理から出発して、ローレンツ変換を再発見し、その物理的な意味を明確にしました。特殊相対性原理の要請からすると、慣性系の間の座標変換はガリレイ変換ではなくローレンツ変換であり、これに基づいてニュートン力学は修正される必要があります。このようにして導出された理論的帰結の1つに、運動している物体の長さが収縮する、また時間が遅れるという有名な概念があります。もちろんここで言う運動とは等速直線運動のことです。正確に言うと、運動している座標系（以下運動系といいます）と静止した座標系（以下静止系といいます）の間で座標変換を行うとこのような結果になるという意味です。
もう少し詳しく説明しましょう。そのために、まずローレンツ変換の具体的な形を見ることにしましょう。先ほどと同様に、Aから見てBがX軸方向に速度vで運動しているとき、AとBの間のローレンツ変換は、
で与えられます（≡ は左辺を右辺で定義するという意味の記号です）。長さの次元を持つxに合わせるため、時間tに光速度cが掛けられていることに注意してください。速度は長さを時間で割ったものですから、これを時間に掛ければ、残る次元は長さになります。
上の式を見れば分かるように、ローレンツ変換の形式はガリレイ変換より少し複雑であり、また時間tは両方の座標系で不変ではなく、空間座標xに依存して変化します。したがって、相対論ではニュートン力学での絶対時間という概念は存在せず、各座標系において時間の進み方は相対的になります。また、βとγの形式から、vはcと等しい値を取ることはできないことも分かります。仮にv = cとすると、γは無限大となってしまうからです。よって、どんな物体も光速度まで加速することはできないということになります。
さて、まず長さが収縮するとは、2点間の距離が短くなるということです。これはxについてのローレンツ変換から導かれます。速度vの運動系でX軸上の座標x'1と座標x'2 の間の距離がLであったとしましょう。つまり、
です。これを静止系から見るとどうなるかは、x'1、x'2それぞれにローレンツ変換の式を当てはめて静止系の座標x'1、x'2を導出し、その間の距離を計算すれば分かります。すると、静止系でのある時刻tにおいて、
となりますから、明らかに、
となります。一般にv ＜ cなので、β＜ 1が成り立つことに注意してください。したがって、静止系から観測した2点間の距離は、運動系での距離よりも短くなり、言い換えると長さが収縮して見えるのです。
時間の遅れも同様に、時間についてのローレンツ変換から導かれます。上記のローレンツ変換は、Bの座標をAの座標で表わした形になっていますが、これを変形して、Aの座標をBの座標で表わすことにしましょう。簡単な計算により、Aの時間ctについて、
となることが分かります。2つの座標系における経過時間を比較するとしましょう。そのため、A が持っている時計に合わせた時計をあらかじめB の移動先に設置しておき、時間t'後にその時計とBの時計を比較するとします。さて、B自身はBの座標系の原点にいますから、x' = 0です。すると、
が結論されます。ここでのtは、Aが持っている時計に合わせてある時計の読みです。0 ＜ v ＜ cならγ＜ 1なので、t ＜ t'となります。したがって、静止系の時計で計った時間は、運動系の時計で計った時間より長くなり、言い換えると運動系の時間は遅れるということになります。
では、なぜ日常的にはこのような現象が体感されないのでしょうか。それは、cが秒速約30万kmというとてつもなく大きな値であるのに対し、私たちが通常関わる速度はそれよりもずっと小さいからです。すると、βはほぼ0、γはほぼ1になり、長さも時間も運動系と静止系の間でほとんど同じということになります。この場合はニュートン力学を適用してほぼ精確に物理現象を記述することができます。つまり、ニュートン力学は相対論でvをcに比べて非常に小さくした場合の近似理論であり、逆にv がc に近くなると相対性理論を適用する必要が生じます。
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相対論的エネルギーと E=mc2
相対性理論の有名な公式に、エネルギーと質量の変換性を示すE = mc2という式があります。この式について少し解説しましょう。今までの議論は数学の知識をほとんど必要としませんでしたが、この節だけは多少の数学の知識 （高校生程度） を前提として説明します。
ニュートン力学の世界では空間と時間は完全に別個のパラメーターでしたが、相対論ではローレンツ変換によって時間と空間が相互に依存して変換されます。そのため、空間と時間を別個に扱うのではなく、一まとめにして扱うと便利です。それで、物体の座標を、時間1次元と空間3次元からなる4元ベクトルで表わすことにします。成分表示すると、
です。さて、よく知られているように、速度とは位置座標を時間で微分して定義されます。x、y、z方向の速度をそれぞれvx、vy、vzとすると、
です。しかし相対論では、運動する物体によって時間が相対的ですので、どのように時間で微分するかが問題になります。一番適切なのは、物体と共に運動する時計の刻む時間で微分することでしょう。これは、前節で導入した、運動する座標系の原点にある時計の時間に他なりません。これを"固有時"といい、τで表わします。つまり、
となります。この固有時で先ほどの座標を微分すると、
となることに注意して、次の4元速度が得られます。
さらに、ニュートン力学では速度に質量mを掛けて運動量pを定義します。これに倣い、"4元運動量"を次のように定義しましょう。
ここで、4元運動量の空間成分px、py、pzはニュートン力学の運動量の相対論的拡張とみなすことができますが、時間成分ptの意味するところは何でしょうか？実は、これが"相対論的エネルギー"に相当します。つまり、相対論では、時間と空間だけでなく、エネルギーと運動量も統一的に扱われるのです。次元を合わせるためにエネルギーEをcで割り、E/c = ptとして、
がエネルギーの表式になります。γがvの関数なのでこのEはvに依存しますが、ここでv = 0とするとE = mc2が得られ、物体は最低でも速度によらない"質量エネルギー"mc2を持つことになるのです。
E = mc2は、質量からエネルギーへの変換、またエネルギーから質量への変換が可能であることを意味しています。この式の応用を１つだけご紹介することにします。
太陽では、水素原子4個をヘリウム原子１個に変換する核融合反応が絶えず起こっています。このとき、生成されたヘリウム原子の質量は反応前の水素原子4個の質量よりわずかに軽くなります。失われた質量はE = mc2にしたがってエネルギーに変換され、そのエネルギーの一部が地球の私達の元に届いているのです。では、太陽で毎秒どれほどの質量がエネルギーに変換されているのかを計算してみましょう。
地球上で1秒当たりの太陽エネルギーを測定すると、1340 W/m2 となります（Wの次元はm2･kg/s3 です）。また、地球と太陽の間の距離は、平均して1.50×1011 mです。この距離を半径とする巨大な球面を考えると、その表面積は4π（1.50×1011）2 m2 になり、これに1340 W/m2 をかけると太陽が1秒間に放出するエネルギーが求められます。このエネルギーに相当する質量は、E = mc2の式から、エネルギーをc2で割れば算出することができます。cを3.0×108 m/s2、円周率πを3.14として計算すると、
となりますから、約400万トンの質量が1秒間にエネルギーに変わっていることになります。これは、太陽が毎秒400万トンずつ軽くなっていることを意味しますが、それでも太陽が消えてなくなったりしないのは、元々太陽が非常に巨大であるからに他なりません。太陽の質量を2.0×1030 kg、1年の秒数を3.15×107 sとして、1年間にエネルギーとなって失われる太陽質量の割合を計算してみてください。
一般相対性理論
特殊相対論はニュートン力学に多くの修正を要求しましたが、それだけでは重力理論としてのニュートン力学に取って代わるものではありません。相対性理論がニュートン力学を完全に凌駕するには、重力の効果を理論に取り入れた一般相対性理論の完成を待たなければなりませんでした。最後に一般相対性理論についてごく簡単に触れることにします。
特殊相対性理論の「特殊」とは、座標系として慣性系のみを考慮するという意味でした。すると、一般相対性理論とは、座標系を限定せず、0でない任意の加速度を持つ座標系（"加速度系"）について議論を一般化した相対性理論であろうということが容易に推察でき、事実その通りです。
つまり、特殊相対性原理は次のように一般化されます。
● 慣性系に限らず、すべての座標系で、物理法則は同じ形を取る。
これを"一般相対性原理"といいます。すなわち、ローレンツ変換だけでなく、任意の座標変換で物理法則が不変であることを要請する原理です。しかし、この原理だけではまだ重力については何も言っていません。アインシュタインは、加速度系と重力場を結びつける次の原理を提唱しました。
● 重力場における重力は適当な加速度系での慣性力を用いて相殺することができる。
これは"等価原理"と呼ばれます。慣性力とは、電車やエレベーターなどが動き出したときに進行方向と逆に感じる力のことです。この原理により、重力がある座標系においても、適当な加速度系に座標変換することで重力をどんな値にも（ゼロにも）することができます。また逆に、外力の働いていない慣性系からの座標変換によって、重力を生じさせることもできます。こうして、慣性系における特殊相対性理論を、重力場のある座標系へ拡張し、さらに一般相対性原理の要請から物理法則の形を決定する道が開かれました。
この2つの原理を出発点として、アインシュタインは重力場の新しい方程式を提唱しました。アインシュタイン方程式と呼ばれるこの方程式を解くことにより、ブラックホールや膨張宇宙といった画期的な概念が提唱され、私達の宇宙に対する理解は大幅に深まりました。一方、重力が主役のマクロな世界を説明する一般相対性理論と、量子論に支配されるミクロな世界を統一する量子重力理論は、未だに完成していません。相対論の登場から100年を経た現代物理学の潮流は、自然界の4つの力を統一する究極の理論の完成を目指しています。
参考文献
本稿の執筆に当たり、下記の文献を参考にしました。
● 相対性理論 内山龍雄 岩波文庫 物理テキストシリーズ8（1977）
● 相対性理論 アインシュタイン 内山龍雄訳・解説 岩波文庫（1988）
● 相対性理論入門講義 風間洋一 培風館 現代物理学入門講義シリーズI（1997）
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